Varianz des Mittelwerts korrelierter Variablen

[MelliBeese]

Moin moin,

wie kann ich ich die Varianz bzw. Standardabweichung eines Mittelwerts von zwei oder mehreren Variablen berechnen?

Beispiel: Drei IQ-Tests A, B, C. Jeder habe Mittelwert 100 und SD 15. Angenommene Korrelation zwischen A und B: .7, zwischen B und C: .8 und zwischen A und C: .6

Mittelwert der drei IQ-Tests: auch 100.
Wie groß ist die SD???

Danke und Gruß,
Melli

[joehanes]

Deine Frage macht für mich nicht besonders viel Sinn. Du schreibst, dass von allen drei Verteilungen der Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15 ist. Völlig unabhängig von irgendwelchen Korrelationen ist also die Standardabweichung von jedem dieser 3 Tests 15.

Oder war deine Frage: Eine Person hat alle 3 Tests gemacht und hat als Mittelwert aus diesen 3 tests das Ergebnis 100 erhalten? Auch dann bringen einem meines Wissens nach die Korrelationen nichts, da du die tatsächlichen Testwerte kennen müsstest, um die Varianz berechnen zu können.

Ist das eine Aufgabe, die du schriftlich irgendwo hast? Dann bitte den genauen Text posten...


viele Grüße

joehanes

[MelliBeese]

Danke für die Rückmeldung, ich habe mich wohl nicht ganz klar ausdrücken können.

Gib mir noch eine Chance

Also: Variable Z sei die Summe aus den Variablen X und Y.
Ich weiß, dass sich Var(Z) berechnet als
Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y)

Für den Fall, dass X und Y nicht korrelieren, entspricht die Varianz der Summe also einfach der Summe der beiden einzelnen Varianzen. Korrelieren X und Y positiv, ist die Varianz der Summe höher als die Summe der einzelnen Varianzen.

Wie ist das nun, wenn Z nicht die Summe, sondern der Mittelwert von X und Y ist? Und was, wenn Z gebildet würde als Mittelwert aus mehr als nur 2 Variablen z.B. aus W, X und Y? Für diesen Fall habe ich mal hypothetische Korrelationen angegeben.

Danke und Gruß,
Melli

[MelliBeese]

Bzgl. Mittelwert vs. Summe bin ich jetzt etwas schlauer, hab ein bißchen rumsimuliert. Vielleicht kann mir das aber jmd bestätigen?

Die Varianz der Summen der drei IQ-Tests ist mir zwar immer noch nicht klar (da bitte ich um eine Formel), sie müßte aber neun mal so hoch sein, wie die Varianz der Mittelwerte. Die SD der Summen wiederum ist drei mal so groß wie die der Mittelwerte.

Jetzt also bitte noch die Formel für die Varianz. Gesucht wird quasi die Verallgemeinerung von
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y) für den Fall von nicht nur zwei, sondern drei Variablen.

[MelliBeese]

Mit gelegentlichen Pausen treibt mich diese Frage immer noch um.